题目内容

已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=
ax+b
x2+1
是增函数,且f(
1
2
)=
2
5

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.
分析:(Ⅰ)利用f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在(-1,1)上的奇函数,可得f(0)=0,从而可求b的值,根据f(
1
2
)=
2
5
,求出a的值,即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,由f(t-1)+f(2t)<0得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t),可得不等式组,解之,即可求解不等式.
解答:解:(Ⅰ)因为f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在(-1,1)上的奇函数,
所以f(0)=0,得b=0,
又因为f(
1
2
)=
2
5
,所以
1
2
a
(
1
2
)
2
+1
=
2
5
⇒a=1

所以f(x)=
x
x2+1

(Ⅱ)因为定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,由f(t-1)+f(2t)<0得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t)
所以有
-1<t-1<1
-1<2t<1
t-1<-2t
0<t<2
-
1
2
<t<
1
2
t<
1
3

解得0<t<
1
3
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的综合,考查学生的计算能力,正确运用函数的单调性是关键.
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