Question

【题目】有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于x∈R，ax2﹣x+a＞0．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
（i）a=0 不成立．
（ii）a≠0 时， ，解得 ，即q： ．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，
∴ 或 ，
解得 ，或a≥1．
∴实数a的取值范围是 ，或a≥1．
【解析】对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．
对于命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于x∈R，ax2﹣x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．