题目内容
【题目】已知圆,直线
,
.
(1)求证:对,直线
与圆
总有两个不同的交点
;
(2)求弦的中点
的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;
(3)是否存在实数,使得原
上有四点到直线
的距离为
?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)M的轨迹方程是,它是一个以
为圆心,以
为半径的圆;(3)
或
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断;(2)借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解;(3)依据题设借助图形的直观,运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式:
(1)圆的圆心为
,半径为
,所以圆心C到直线
的距离
.
所以直线与圆C相交,即直线
与圆
总有两个不同的交点;
或:直线的方程可化为
,无论m怎么变化,直线
过定点
,由于
,所以点
是圆C内一点,故直线
与圆
总有两个不同的交点.
(2)设中点为,因为直线
恒过定点
,
当直线的斜率存在时,
,又
,
,
所以,化简得
.
当直线的斜率不存在时,中点
也满足上述方程.
所以M的轨迹方程是,它是一个以
为圆心,以
为半径的圆.
(3) 假设存在直线,使得圆上有四点到直线
的距离为
,由于圆心
,半径为
,则圆心
到直线
的距离为
化简得,解得
或
.
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