题目内容
【题目】已知四棱锥,
,在平行四边形
中,
,Q为
上的点,过
的平面分别交
,
于点E、F,且
平面
.
(1)证明:;
(2)若,
,Q为
的中点,
与平面
所成角的正弦值为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)利用线面平行的性质可知,再后再根据条件证明
平面
,从而证明线线垂直;
(2)如图,以O为坐标原点,分别以为
轴建立空间直角坐标系,利用两个平面法向量求二面角的余弦值.
(1)证明:连结交
于点O,连结
.
∵在平行四边形中,
,
∴,且O为
、
的中点,
∵,∴
,
∵,且
平面
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
∵平面
,且平面
平面
∴,
∴
(2)由(1)可知平面
,故平面
平面
∵,且O为
的中点,∴
又∵平面平面
∴平面
,
∴与平面
所成角为
∵与平面
所成角的正弦值为
,且
,∴
,
在中,
,由勾股定理得:
如图,以O为坐标原点,分别以为
轴建立空间直角坐标系,则:
,
∵Q为的中点,∴
则,
易知,平面的一个法向量为
设平面的法向量为
,因为
,则:
,即
,
令,则:
,
,故可取平面
的一个法向量为
∴
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为抗击新型冠状病毒,普及防护知识,某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值,并估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |