题目内容
【题目】在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,。
(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列为等差数列;
(ⅱ)求数列的通项公式。
(Ⅱ)设数列的前项和为,证明:,。
【答案】(1)紧扣等差数列定义证明,(2)当为偶数时,当为奇数时。(3)证明见解析。
【解析】
试题分析:要证明数列为等差数列,只需证明成立,由于数列首项为正,
数列为单调递增,说以,由成等差数列,得……(1),由因为,成等比数列,则,于是代入(1)式整理得:得证;先求,备用,由于数列为等差数列,可借助等差数列通项公式求出,再由求出,最后分为奇数和偶数两种情况表达,由于数列的通项公式分为奇数和偶数两种情况表达的,所以需要合在一起,合成公式是
,合成后对进行放缩,这里技巧很重要,
,再求,最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的;
试题解析:(ⅰ)因为数列为单调递增数列,,所以()。由题意成等差数列,成等比数列,.得,,于是,化简得,所以数列为等差数列。
(ⅱ)又,,所以数列的首项为,公差为,所以,从而。结合可得。因此,当为偶数时,当为奇数时。
(2)所以数列的通项公式为:
。因,所以;则有,所以,。
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