题目内容
【题目】在单调递增数列中,
,
,且
成等差数列,
成等比数列,
。
(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列为等差数列;
(ⅱ)求数列的通项公式。
(Ⅱ)设数列的前
项和为
,证明:
,
。
【答案】(1)紧扣等差数列定义证明,(2)当为偶数时
,当
为奇数时
。(3)证明见解析。
【解析】
试题分析:要证明数列为等差数列,只需证明
成立,由于数列首项为正,
数列为单调递增,说以,由
成等差数列,得
……(1),由因为
,
成等比数列,则
,
于是
代入(1)式整理得:
得证;先求
,
备用,由于数列
为等差数列,可借助等差数列通项公式求出
,再由
求出
,最后分
为奇数和偶数两种情况表达
,由于数列的通项公式分
为奇数和偶数两种情况表达的,所以需要合在一起,合成公式是
,合成后对
进行放缩,这里技巧很重要,
,再求
,最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的;
试题解析:(ⅰ)因为数列为单调递增数列,
,所以
(
)。由题意
成等差数列,
成等比数列,
.得
,
,于是
,化简得
,所以数列
为等差数列。
(ⅱ)又,
,所以数列
的首项为
,公差为
,所以
,从而
。结合
可得
。因此,当
为偶数时
,当
为奇数时
。
(2)所以数列的通项公式为:
。因
,所以
;则有
,所以
,
。
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目