Question

7．三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，连接OB，OC．
∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，
∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=$\frac{AC×CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴OB²+OC²=BC²，∴∠BOC=90°．
∴三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BOC}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 熟练掌握等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．