Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求使得T_n$＞\frac{m}{30}$对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算、整理可知a_n-a_n-1=2，进而计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，通过T_n=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$随着n的增大而增大可知，问题转化为解不等式$\frac{m}{30}$＜$\frac{1}{2+1}$．

解答 （1）证明：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+n-1，
∴S_n=na_n-n（n-1），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
整理得：a_n-a_n-1=2，
又∵a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{n}$=n，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列；
（2）解：由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
于是T_n$＞\frac{m}{30}$对所有n∈N^*都成立即$\frac{n}{2n+1}$$＞\frac{m}{30}$对所有n∈N^*都成立，
又∵T_n=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$随着n的增大而增大，
∴$\frac{m}{30}$＜$\frac{1}{2+1}$，
解得：m＜10，
故满足条件的最大正整数m=9．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．