Question

（2011•揭阳一模）已知定点A（-3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上，

NP

=

3

2

MP

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点Q是曲线x²+y²-8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出点M、N的坐标、点P的坐标，用坐标表示向量AN，MN，MN，NP，根据AN⊥MN、

NP

=

3

2

MP

，即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）曲线表示以B（4，0）为圆心，以1为半径的圆，设T为轨迹C上任意一点，连接TB，则|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1，故当|TB|最小时，|TQ|最小．

解答：解：（1）设点M、N的坐标分别为（a，0），（0，b），（a≠0，b≠0），点P的坐标为（x，y），
则

AN

=(3，b)，

NM

=(a，-b)，

MP

=(x-a，y)，

NP

=(x，y-b)，
由AN⊥MN得3a-b²=0，------------（※）----------（2分）
由

NP

=

3

2

MP

得x=

3

2

(x-a)，y-b=

3

2

y--------------------------------------（3分）
∴a=

1

3

x，b=-

1

2

y代入（※）得y²=4x----------------------------------------（5分）
∵a≠0，b≠0∴x≠0，y≠0
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）-------------------------------------（6分）
（2）曲线x²+y²-8x+15=0，即（x-4）²+y²=1，是以B（4，0）为圆心，以1为半径的圆，
设 T为轨迹C上任意一点，连接TB，则|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1--------------------------------（8分）
∴当|TB|最小时，|TQ|最小．---------------------------------------------------（9分）
∵点T在轨迹C上，设点T(

m2

4

，m)（m≠0）
∴|TB|=

( m2 4 -4)2+m2

=

1 16 (m2-8)2+12

---------------------------------（11分）
当m²=8，即m=±2

2

时，|TB|有最小值，|TB|min=2

3

-----------------------（12分）
当m²=8时，

m2

4

=2
∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为(2，±2

2

)，使得|TQ|最小，|TQ|min=2

3

-1．--（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查探究性问题，解题的关键是利用曲线的特殊性，将点T到点Q的距离进行转化．