题目内容

椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为
 
．
分析：正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设出A的坐标，求出 AF2 的中点坐标，把AF2 的中点坐标代入椭圆的方程化简解方程求得 e．
解答：解：由题意知，正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设为A，则 A的坐标可为 （0，
3
c），
再由中点公式得 AF2 的中点为（
c
2
，
3
c
2
），再由 AF2 的中点在椭圆上得
(
c
2
)2
a2
+
(
3
c
2
)2
a2-c2
=1，
化简得 e4-8e2+4=0，∴e2=4+2
3
（舍去） 或 e2=4-2
3
，∴e=
3
-1，
故答案为：
3
-1．
点评：本题考查线段的中点公式，椭圆的标准方程和简单性质的应用，注意离心率的取值范围．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的两焦点为F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，离心率e=
3
2
．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的两焦点为F1(-
3
，0)， F2(
3
，0)，P为椭圆上一点，且|PF1|+|PF2|=4
（1）求此椭圆方程．
（2）若∠F1PF2=
π
3
，求△F1PF2的面积（要有详细的解题过程）
已知椭圆的两焦点为F1（-
3
，0），F2（
3
，0），离心率e=
3
2
．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
已知椭圆的两焦点为F1（-
3
，0），F2（
3
，0），离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求此椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线y=
x
2
+m与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|的长等于椭圆的短轴长，求m的值．
（Ⅲ）若直线y=
x
2
+m与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．
已知椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．

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