题目内容

12.已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|且3$\overrightarrow{a}$2=$\overrightarrow{b}$2,则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2π}{3}$.

分析 根据向量的模相等得到,得到向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 垂直,利用数量积的定义可求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦值.

解答 解:因为|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|,所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|2=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|2,得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0,又3$\overrightarrow{a}$2=$\overrightarrow{b}$2,所以$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}|$=|$\overrightarrow{b}$|,|
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}}}$=$-\frac{1}{2}$,
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2π}{3}$;
故答案为:$\frac{2π}{3}$.

点评 本题考查了平面向量的数量积、模的运算;关键是由已知等式得到两个向量垂直.

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