Question

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足，则sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：A、B、C 共线，由，得cosθ+（cosθ）²=1，故（cosθ）²=1-cosθ，cosθ=1-（cosθ）²=（sinθ）²，且（cosθ）³=cosθ（cosθ）²=2cosθ-1，所以sinθ+（sinθ）²+（sinθ）⁴+（sinθ）⁶=sinθ+2cosθ．由此能求出sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值．
解答：∵A、B、C 共线，
∴由，
得 cosθ+（cosθ）²=1，（三点共线的充要条件）
∴（cosθ）²=1-cosθ，
cosθ=1-（cosθ）²=（sinθ）²，
且（cosθ）³=cosθ（cosθ）²
=cosθ（1-cosθ）
=cosθ-（cosθ）²
=cosθ-（1-cosθ）
=2cosθ-1，
∴sinθ+（sinθ）²+（sinθ）⁴+（sinθ）⁶
=sinθ+cosθ+（cosθ）²+（cosθ）³
=sinθ+cosθ+（1-cosθ）+（2cosθ-1）
=sinθ+2cosθ
因此，sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值==．
故选C．
点评：本题考查平面向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的性质的灵活运用．