Question

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足

OC

=

OA

cosθ+

OB

cos2θ，则sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值是（　　）

A． 2

B． 3

C． 5

D． 6

Answer 1

∵A、B、C 共线，
∴由

OC

=

OA

cosθ+

OB

cos2θ，
得 cosθ+（cosθ）²=1，（三点共线的充要条件）
∴（cosθ）²=1-cosθ，
cosθ=1-（cosθ）²=（sinθ）²，
且（cosθ）³=cosθ（cosθ）²
=cosθ（1-cosθ）
=cosθ-（cosθ）²
=cosθ-（1-cosθ）
=2cosθ-1，
∴sinθ+（sinθ）²+（sinθ）⁴+（sinθ）⁶
=sinθ+cosθ+（cosθ）²+（cosθ）³
=sinθ+cosθ+（1-cosθ）+（2cosθ-1）
=sinθ+2cosθ
因此，sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值=

1+4

=

5

．
故选C．