Question

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足

OC

=

OA

cosθ+

OB

cos2θ，则sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的值是

 

．

Answer 1

分析：依题意知，cosθ+cos²θ=1，于是得cosθ=sin²θ，sin⁶θ=2cosθ-1，sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=2cosθ，解方程cosθ+cos²θ=1，可求得cosθ，从而可得答案．

解答：解：∵A、B、C三点共线，且

OC

=

OA

cosθ+

OB

cos²θ，
∴cosθ+cos²θ=1，（三点共线的充要条件）
∴cos²θ=1-cosθ，
∴cosθ=1-cos²θ=sin²θ，
∴sin⁶θ=cos³θ=cosθ•（1-sin²θ）=cosθ（1-cosθ）=cosθ-cos²θ=cosθ-（1-cosθ）=2cosθ-1，
∴sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ
=cosθ+cos²θ+2cosθ-1
=cosθ+1-cosθ+2cosθ-1
=2cosθ，
由cos²θ=1-cosθ得cosθ=

-1+ 5

2

或cosθ=

-1- 5

2

＜-1，舍去，
∴cosθ=

-1+ 5

2

，
∴原式=2cosθ=

5

-1，
故答案为：

5

-1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得，sin⁶θ=2cosθ-1，sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=2cosθ是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题．