题目内容

已知向量
m
=(sinx，cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，且函数f(x)=
m
•
n
+a
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值的和为
3
2
，求a的值．
分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式化简可得f（x）的解析式，进而可得周期和单调区间；
（2）由x的范围可得f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值，由题意可得关于a的方程，解之可得．
解答：解：（1）由题意可得f(x)=
m
•
n
+a=
3
sinxcosx+cos2x+a
=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+a+
1
2

=sin(2x+
π
6
)+a+
1
2
，
∴T=
2π
2
=π，
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，
解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，
∴函数f（x）的单调区间是[
π
6
+kπ，
2
3
π+kπ](k∈Z)
（2）∵
-
π
6
≤x≤
π
3
，
∴-
π
6
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，
∴f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值的和
(1+a+
1
2
)+(-
1
2
+a+
1
2
)=
3
2
，
解得a=0．
点评：本题考查三角函数与向量数量积的结合，涉及三角函数的单调区间和值域，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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