Question

12．若幂函数y=x^a过点（2，4），则函数y=log_a（x²-2x-3）的单调减区间为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 由题意求出a=2，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数t=x²-2x-3在（-∞，-1）上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间．

解答 解：∵幂函数y=x^a过点（2，4），
∴2^a=4，即a=2．
则函数y=log_a（x²-2x-3）=$lo{g}_{a}（{x}^{2}-2x-3）$．
由x²-2x-3＞0，解得：x＜-1或x＞3．
∴函数y=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2x-3）$的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
函数t=x²-2x-3在（-∞，-1）上为减函数，
而外函数y=log₂t为定义域内的增函数，
∴函数y=log_a（x²-2x-3）的单调减区间为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．