题目内容

函数y=
-x2+4x-3
+3
x+1
的值域为
[
9-
17
8
9+
17
8
]
[
9-
17
8
9+
17
8
]
分析:先根据条件求出x的范围,再令x-2=cosθ,利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
解答:解:∵-x2+4x-3=-(x-2)2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x-2=cosθ   且θ∈[0,π]
y=
-x2+4x-3
+3
x+1

=
sinθ+3
cosθ+3

⇒ycosθ+3y=sinθ+3⇒sinθ-ycosθ=3y-3⇒
1+y2
sin(θ-φ)=3y-3
⇒sin(θ-φ)=
3y-3
1+y2
⇒|
3y-3
1+y2
|≤1⇒
9-
17
8
y≤
9+
17
8

故答案为:[
9-
17
8
9+
17
8
].
点评:本题主要考查三角换元法求函数的值域问题.解决本题的关键点在于令x-2=cosθ,利用换元法解题.
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