题目内容
【题目】设函数,
a为实数
,
求函数
的单调区间;
若存在实数a,使得
对任意
恒成立,求实数m的取值范围.
提示:
【答案】(1)单调递减,
单调递增;(2)
【解析】
(1)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)令
,
时,不合题意,
时,利用导数求得
,问题等价于
恒成立,再利用导数求得
的最大值即可得结果.
(1),
由,得
,
,得
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)令,
则,
若e-a≥0,可得h′(x)>0,函数h(x)为增函数,当x→+∞时,h(x)→+∞,
不满足h(x)≤0对任意x∈R恒成立;
若e-a<0,由h’(x)=0,得,则
,
∴当x∈时,h′(x)>0,当x∈
时,h′(x)<0,
∴,
若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立, 则≤0(a>e)恒成立,
若存在实数a,使得≤0成立, 则ma≥
,
∴(a>e),
令F(a), 则
.
∴当a<2e时,F′(a)<0,当a>2e时,F′(a)>0,
则.
∴m. 则实数m的取值范围是
.
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