Question

【题目】已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．

（1）行列式，且，求证：数列是等差数列；

（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，

①求和的通项公式；

②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，；②6

【解析】

(1)根据行列式的代数余子式可得,再根据等差中项可证;

(2)①设等差数列的公差为,等比数列的公比为,运用等差数列和等比数列的性质和通项公式,解方程组即可得到所求通项;

②由等差数列的中项性质和分类讨论,即可得到最小值.

证明:因为,

所以,,

因为,所以,即,

所以数列是等差数列.

①由(1)知数列是等差数列,设公差为(),设等比数列 的公比为,

因为成等比数列，成等差数列,

所以且,

所以,且,

结合化简可得且,

解得,

所以,,

故,.

②因为成等差数列,

所以,即,

由于,且均为正整数,

所以,,所以,

可得,即,

当时,,,所以不等式不成立,

当或时,成立,

当时,,即时,则有,

所以的最小值为6,当且仅当且或时, 取得最小值6.