题目内容
3.求函数f(x)=|x2-a2|在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值.分析 由题意可得函数f(x)为偶函数,因此讨论M(a)的值域只需在x∈[0,1]这一范围内进行,结合二次函数的单调性及a2与1的大小分类讨论求解M(a),再由单调性即可得到最小值.
解答 解:由题意可得函数f(x)为偶函数,
因此讨论M(a)的值域只需在x∈[0,1]这一范围内进行;
(1)当0≤a2<1时,则
当a>0时,函数f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,1]上单调递增,
所以f(x)在[0,a]内的最大值为f(0)=a2,
而f(x)在[a,1]上的最大值为f(1)=1-a2,
由f(1)>f(0)得1-a2>a2,即0<a<$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
当a∈(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)时,M(a)=f(1)=1-a2,
同理,当a∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1)时,M(a)=f(0)=a2,
(2)当a2≥1时,函数在[0,1]上为减函数,所以M(a)=f(0)=a2,
综上,M(a)=$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2},0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2},a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
所以M(a)在[0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上为减函数且在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)为增函数,
综上易得M(a)的最小值为M($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查了偶函数的性质的应用,其实由分析可得M(a)=f(0)或f(1),所以可直接通过比较f(0)与f(1)的大小得出M(a)的解析式从而可求.
练习册系列答案
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A. | $\frac{36}{5}$ | B. | 8 | C. | 20 | D. | 2$\sqrt{5}$ |
12.函数f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是( )
A. | 奇函数且为增函数 | B. | 偶函数且为增函数 | ||
C. | 奇函数且为减函数 | D. | 偶函数且为减函数 |