Question

11．已知函数f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）．
（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（a²-1）+f（2-a）＞0；
（3）证明：|f（x）|≥2|x|．

Answer 1

分析 （1）容易求出该函数定义域为（-1，1），然后求f（-x）=-f（x），从而得出该函数为奇函数；
（2）根据f（x）的解析式，便可看出x增大时，f（x）增大，从而该函数为增函数，从而由原不等式可得f（a²-1）＞f（a-2），从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{-1＜a-2＜1}\\{{a}^{2}-1＞a-2}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出原不等式的解集；
（3）可设g（x）=f（x）-2x，通过求导数便可判断该函数为增函数，根据不等式中都有绝对值，从而可讨论x：0≤x＜1时，便可得到f（x）≥2x，并且此时f（x）≥0，2x≥0，从而便可得出|f（x）|≥|2x|，同样的方法证明-1＜x＜0时，|f（x）|＞|2x|，这样便可得出|f（x）|≥|2x|．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则：
$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$；
∴-1＜x＜1；
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
（2）由f（x）的解析式：x增大时，ln（x+1）增大，1-x减小，-ln（1-x）增大，从而得出f（x）增大；
∴f（x）在（-1，1）上为增函数；
由f（a²-1）+f（2-a）＞0得f（a²-1）＞f（a-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{-1＜a-2＜1}\\{{a}^{2}-1＞a-2}\end{array}\right.$；
解得$1＜a＜\sqrt{2}$；
∴原不等式的解集为（1，$\sqrt{2}$）；
（3）设g（x）=f（x）-2x=ln（x+1）-ln（1-x）-2x，g′（x）=$\frac{{2x}^{2}}{1-{x}^{2}}$≥0；
∴g（x）在（-1，1）上单调递增；
g（0）=0；
∴①0≤x＜1时，g（x）≥0；
∴f（x）-2x≥0；
∴f（x）≥2x；
∵f（x）为增函数，f（0）=0；
∴f（x）≥0；
∴|f（x）|≥|2x|；
②-1＜x＜0时，g（x）＜0；
∴f（x）＜2x；
f（x）＜0，2x＜0；
∴-f（x）＞-2x；
即|f（x）|＞|2x|；
∴综上得|f（x）|≥|2x|．

点评 考查函数定义域的概念及求法，函数奇偶性的定义及判断方法，增函数的定义，对数函数的单调性，以及根据单调性的定义解不等式，根据导数符号判断函数单调性的方法．