题目内容
【题目】如图，设
为
内一点，直线
、
、
与边
、
、
分别交于点
、
、
．设分别以、
为直径的两圆交于点
、
，分别以、
为直径的两圆交于点
、
，分别以、
为直径的两圆交于点
、
．证明：、、、、、六点共圆．
【答案】见解析
【解析】
首先证明：
、
、
三线共点于
，其中，为
的垂心．
如图，作
于点
，
于点
，
于点
．
则
、
、
共点于，即的垂心．
由，知以
、
为直径的圆均过点、
．故
为两圆根轴．
类似地，以
、为直径的圆均过点、
，为两圆根轴；以、为直径的圆均过点
、
，为两圆根轴．
由根心定理，知、、三线共点，且与交于点．
故过点．
由、、、四点共圆
．
类似地，、均过点，有
，
．
又
，故、、
、
四点共圆于
，、、
、
四点共圆于
，、、、四点共圆于
．
如图，设
、、
的中点分别为
、
、
，、
、
的中点分别为
、
、
．
其次证明：
、
、
三线共点．
因为
，
，所以，为的中垂线．
类似地，为的中垂线，为的中垂线．
故
为与的交点，
为与的交点，
为与的交点．
又、、共点于
，由塞瓦定理得
．
再由塞瓦定理的逆定理，知、、三线共点．
因此，、、三点重合．
故、、、、、六点共圆．
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