题目内容
【题目】已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)当a＝1时，求函数f′(x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
【答案】(1)4.
(2) 函数f(x)的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(，＋∞)．函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln.
【解析】分析：首先求出函数的定义域，先保证函数的生存权，对于第一问，对函数求导，之后应用基本不等式求出
的最小值，注意等号成立的条件；对于第二问求导，之后对参数的取值进行讨论，利用导数大于零，函数单调增，导数小于零，函数单调减，从而确定出函数的单调区间以及函数的极值.
详解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝2x＋
≥2
＝4，当且仅当2x＝，
即x＝1时等号成立，故函数f′(x)的最小值为4.
(2)f′(x)＝2x＋
＝2(x＋
)．
①当a≥0时，f′(x)＞0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；
②当a＜0时，f′(x)＝
.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x | (0， |
| ( |
f′(x) | － | 0 | ＋ |
f(x) | 减 | 极小值 | 增 |
因此函数f(x)的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(，＋∞)．且当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln.
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