Question

19．设$\overrightarrow{a}$=（10，-4），$\overrightarrow{b}$=（3，1），$\overrightarrow{c}$=（-2，3）．
（1）求证：$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$可以作为表示同一平面内的所有向量的一组基底；
（2）用$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 （1）根据基底的概念知，两个向量不共线便可作为平面上的一组基底，从而证明$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$不共线即可；
（2）可设$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{b}+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$，带入坐标便可得到$\left\{\begin{array}{l}{10=3{λ}_{1}-2{λ}_{2}}\\{-4={λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$，这样解出λ₁，λ₂，便可用$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$表示出$\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）证明：∵3×3-1×（-2）=11≠0；
∴$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$不共线；
∴$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$可以作为表示同一平面内的所有向量的一组基底；
（2）设$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{b}+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$；
即（10，-4）=λ₁（3，1）+λ₂（-2，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{10=3{λ}_{1}-2{λ}_{2}}\\{-4={λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$；
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=2}\\{{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$．

点评 考查平面上的基底的概念，根据坐标证明两向量不共线的方法，以及向量坐标的加法和数乘运算．