题目内容

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3 |
8 |
3 |
(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成的角余弦值;
(Ⅱ)求点D到平面PBG的距离;
(Ⅲ)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求
PF |
FC |
分析:(1)先利用等体积法求出PG的长,在平面ABCD内,过C点作CH∥EG交AD于H,连接PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角,在△PCH中利用余弦定理求出此角即可;
(2)在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG,DK的长就是点D到平面PBG的距离,在△DKG利用边角关系求出DK长;
(3)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,先证明FM∥PG,然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可.
(2)在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG,DK的长就是点D到平面PBG的距离,在△DKG利用边角关系求出DK长;
(3)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,先证明FM∥PG,然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可.
解答:
解:(I)由已知VP-BGC=
S△BCG•PG=
•
BG•GC•PG=
,
∴PG=4.
在平面ABCD内,过C点作CH∥EG交AD于H,连接PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中,CH=
,PC=
,PH=
,
由余弦定理得,cos∠PCH=
,
∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为
.
(II)∵PG⊥平面ABCD,PG?平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD,
在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离.
∵BC=2
∴GD=
AD=
BC=
.
在△DKG,DK=DGsin45°=
,∴点D到平面PBG的距离为
.
(III)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,
又因为DF⊥GC,
∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM.
由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG;
由GM⊥MD得:GM=GD•cos45°=
.
∵
=
=
=3,∴由DF⊥GC可得
=3,
∴
x=
,解得d=
∈(0,
).

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3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
8 |
3 |
∴PG=4.
在平面ABCD内,过C点作CH∥EG交AD于H,连接PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中,CH=
2 |
20 |
18 |
由余弦定理得,cos∠PCH=
| ||
10 |
∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为
| ||
10 |
(II)∵PG⊥平面ABCD,PG?平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD,
在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离.
∵BC=2
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4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
2 |
在△DKG,DK=DGsin45°=
3 |
2 |
3 |
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(III)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,
又因为DF⊥GC,
∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM.
由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG;
由GM⊥MD得:GM=GD•cos45°=
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∵
PF |
FC |
GM |
MC |
| ||
|
PF |
FC |
∴
| ||
3 |
d |
3 |
x2+3 |
| ||
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3 |
点评:本题主要考查四棱锥的有关知识,以及求异面直线所成角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥.

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