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精英家教网如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,P在平面ABCD上的射影为G,且G在AD上,且AG=
1
3
GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,四面体P-BCG的体积为
8
3

(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成的角余弦值;
(Ⅱ)求点D到平面PBG的距离;
(Ⅲ)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求
PF
FC
的值.
分析:(1)先利用等体积法求出PG的长,在平面ABCD内,过C点作CH∥EG交AD于H,连接PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角,在△PCH中利用余弦定理求出此角即可;
(2)在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG,DK的长就是点D到平面PBG的距离,在△DKG利用边角关系求出DK长;
(3)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,先证明FM∥PG,然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可.
解答:精英家教网解:(I)由已知VP-BGC=
1
3
S△BCG•PG=
1
3
1
2
BG•GC•PG=
8
3

∴PG=4.
在平面ABCD内,过C点作CH∥EG交AD于H,连接PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中,CH=
2
,PC=
20
,PH=
18

由余弦定理得,cos∠PCH=
10
10

∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为
10
10


(II)∵PG⊥平面ABCD,PG?平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD,
在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离.
BC=2
2
∴GD=
3
4
AD=
3
4
BC=
3
2
2

在△DKG,DK=DGsin45°=
3
2
,∴点D到平面PBG的距离为
3
2


(III)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连接MF,
又因为DF⊥GC,
∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM.
由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG;
由GM⊥MD得:GM=GD•cos45°=
3
2

PF
FC
=
GM
MC
=
3
2
1
2
=3
,∴由DF⊥GC可得
PF
FC
=3

3
3
x=
d
3
x2+3
,解得d=
3
x
3+x2
∈(0,
3
).
点评:本题主要考查四棱锥的有关知识,以及求异面直线所成角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥.
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