Question

7．记函数f（x）=e^x的图象为C，函数g（x）=kx-k的图象记为l．
（1）若直线l是曲线C的一条切线，求实数k的值．
（2）当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，求实数k的取值范围．
（3）若图象C与l有两个不同的交点A、B，其横坐标分别是x₁、x₂，设x₁＜x₂，求证：x₁x₂＜x₁+x₂．

Answer 1

分析 （1）先设出切点坐标P（x₀，e^x₀），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后将（1，0）代入即可得P点坐标，从而得到直线的斜率k；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-k（x-1），确定x=lnk时，函数h（x）取得最小值k-k（lnk-1），利用当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，可得k-k（lnk-1）＞0，即可求实数k的取值范围．
（3）证明（x₁-1）（x₂-1）＜1，即可得出结论

解答 （1）解：曲线y=e^x的导数为y′=e^x，设切点为P（x₀，e^x₀），则过P的切线方程为y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
代入（1，0）点得x₀=2，∴P（2，e²），
代入g（x）=kx-k，可得k=e²；
（2）解：令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-k（x-1），
∴h′（x）=e^x-k，
∴x∈（1，lnk）时，h′（x）＜0，x∈（lnk，3）时，h′（x）＞0，
∴x=lnk时，函数h（x）取得最小值k-k（lnk-1），
∵当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，
∴k-k（lnk-1）＞0，
∴0＜k＜e²；
当k≤0时，显然成立．即有k＜e²．
（3）证明：由题意，${e}^{{x}_{1}}$=kx₁-k，${e}^{{x}_{2}}$=kx₂-k
∴${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=k²（x₁-1）（x₂-1）＜k²，
∴（x₁-1）（x₂-1）＜1，
∴x₁x₂＜x₁+x₂．

点评 本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．