题目内容

已知函数.

(1)若曲线处的切线的方程为,求实数的值;

(2)求证:≥0恒成立的充要条件是

(3)若,且对任意,都有,求实数的取值范围。

 

【答案】

(1)-2;(2)见解析;(3).

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

解: (1)因为

(2)①充分性

所以当

上是增函数,当,所以函数在(0,1)上是减函数,所以

②必要性

(i)当时,恒成立,所以函数在(0,+)上是增函数。而,所以当

综上所述,恒成立的充要条件是a=1.

(3)由(2)可知

当a<0时,函数f(x)在上是增函数,又函数是减函数。

,则

 

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