题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分别为PB，AB的中点，设AC和BD相交于点O（Ⅰ）证明：OM∥底面PAD；
（Ⅱ）若DF⊥PA且交PA于F点，证明DF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积
分析：（Ⅰ）要证明：OM∥底面PAD，只要证明OM∥PD即可．
（Ⅱ）要证明DF⊥平面PAB；已知DF⊥PA，证明DF⊥AB即可．
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积，直接求出底面MNB的面积，再求D到底面MNB的距离即可．
（Ⅱ）要证明DF⊥平面PAB；已知DF⊥PA，证明DF⊥AB即可．
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积，直接求出底面MNB的面积，再求D到底面MNB的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知易知OM是△BDP的中位线，
∴OM∥PD．
∵OM?面PAD，PD?面PAD
∴OM∥面PAD
（另证：也可先证明平面OMN∥平面DPA）
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，、AD∩PD=D，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAB
（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴四面体D-MNB的高为DF，
在Rt△PDA中，DF=
=
，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，
∴MN⊥NB，AP=
=
=
=2
，
S△BMN=
BN•MN=
•
•
=
，VD-MNB=
•S△MNB•DF=
.
•
=4．
∴OM∥PD．
∵OM?面PAD，PD?面PAD
∴OM∥面PAD
（另证：也可先证明平面OMN∥平面DPA）
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，、AD∩PD=D，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAB
（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴四面体D-MNB的高为DF，
在Rt△PDA中，DF=
| DA•DP | ||
|
12
| ||
| 13 |
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，
∴MN⊥NB，AP=
| DA2+DP2 |
| 42+62 |
| 52 |
| 13 |
S△BMN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 2 |
| AP |
| 2 |
| 13 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
12
| ||
| 13 |
| 13 |
点评：本题考查空间直线与直线、平面的位置关系，棱锥的体积，考查空间想象能力，是中档题．
练习册系列答案
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