题目内容
已知函数

,m>0且f(1)=-1.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数k的取值范围,使得关于x的方程f(x)=kx分别为:
①有且仅有一个实数解;
②有两个不同的实数解;
③有三个不同的实数解.
【答案】
分析:(1)将已知条件f(1)=-1,解得|m|=1,再结合m是正数,可得m=1;
(2)将(1)的结论代入得(-∞,m-1]=(-∞,0]根据函数单调性的定义,可设x
1,x
2∈(-∞,0],且x
1<x
2,通过作差化简整理,最后得到f(x
1)-f(x
2)<0,说明函数在区间(-∞,m-1]上是个增函数;
(3)首先,方程f(x)=kx有一个解x=0,然后分x>0和x<0加以讨论:当x>0且x≠2时,方程转化为

,得到

,解不等式得

或k>0;当x<0时,则

,解得

,解不等式得

.最后综合可得方程f(x)=kx解集的情况.
解答:解:(1)由f(1)=-1,得

,|m|=1,
∵m>0,∴m=1. (4分)
(2)由(1),m=1,从而

,只需研究f(x)在(-∞,0]上的单调性.
当x∈(-∞,0]时,

.
设x
1,x
2∈(-∞,0],且x
1<x
2,则

,(6分)
∵x
1<x
2≤0,∴x
1-x
2<0,x
1-2<0,x
2-2<0,
∴f(x
1)-f(x
2)<0,即f(x
1)<f(x
2).
∴函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调递增函数. (10分)
(3)原方程即为

…①
x=0恒为方程①的一个解. (11分)
若x<0时方程①有解,则

,解得

,
由

,得

; (13分)
若x>0且x≠2时方程①有解,则

,解得

,
由

且

,得

或k>0. (15分)
综上可得,当

时,方程f(x)=kx有且仅有一个解;
当

时,方程f(x)=kx有两个不同解;
当

时,方程f(x)=kx有三个不同解. (18分)
点评:本题以含有绝对值的分式函数的形式为例,考查了函数零点的分布与单调性等知识点,属于难题.
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