题目内容

已知函数(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域和值域
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)当a>1时,若对任意实数m,不等式f(m2+km)+f(k-m-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】分析:(1)对于任意实数x,都有ax>0,即可得到函数f(x)的定义域;由f(x)=1-,即可求出值域.
(2)任取实数x,都有f(-x)=-f(x),可得此函数的奇偶性.
(3)先证明函数f(x)在实数集R上的单调性,进而可把m2+km及k-m-1解放出来,进而可求出k的取值范围.
解答:解:(1)∵?x∈R,都有ax>0,∴ax+1>1,故函数(a>0且a≠1)的定义域为实数集R.
∵f(x)===
而ax>0,∴ax+1>1,∴,∴,∴,∴
即-1<f(x)<1.
∴函数f(x)的值域为(-1,1).
(2)函数f(x)在实数集R上是奇函数.下面给出证明.
∵?x∈R,f(-x)===-=-f(x),∴函数f(x)在实数集R上是奇函数.
(3)∵函数f(x)在实数集R上是奇函数,
∴不等式f(m2+km)+f(k-m-1)>0,∴f(m2+km)>-f(k-m-1)=f(m+1-k).
下面证明a>1时,函数f(x)=1-在实数集R上单调递增.
?x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1--=
∵a>1,∴
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在实数集R上单调递增.
∴由不等式(m2+km)>f(m+1-k),可得m2+km>m+1-k,即m2+(k-1)m+k>0.
∵上式对于任意实数m都成立,∴△<0,∴(k-1)2-4k<0,即k2-6k+1<0.
∵方程k2-6k+1=0的两个根为x1,2==3±
∴不等式k2-6k+1<0的解集为{k|}.
即实数k的取值范围为(3-2,3+2).
点评:本题综合考查了函数的定义域、值域、奇偶性及单调性,熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键.
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