题目内容

1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
与2
n
的大小关系为
 
．（n∈N*）
分析：将
1
n
变形为
2
2
n
，然后利用放缩变换构造
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
，进而利用分母有理化及裂项相消法求解．
解答：解：∵
1
n
=
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
=
2(
n
-
n-1
)
(
n
+
n-1
)(
n
-
n-1
)
=2（
n
-
n-1
），
∴1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2[（
1
-
0
）+(
2
-
1
)+(
3
-
2
)+…+（
n
-
n-1
）]=2
n
，
故答案为1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
点评：本题考查了不等式的有关知识，运用了放缩法、分母有理化及裂项相消法等数学方法，难度一般．
练习册系列答案
相关题目
用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
．
用数学归纳法证明1+
1
2
+
1
3
++
1
2n-1
＜n(n∈N+，n＞1)，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（　　）
A、2k-1
B、2k
C、2k-1
D、2k+1
执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（　　）
已知下列不等式：1+
1
2
+
1
3
＞1，1+
1
2
+…+
1
7
＞
3
2
，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
15
＞2，…则由以上不等式推测到一个一般的结论为
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
．
当n∈N，n≥2时，求证：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
(n∈N)．

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