Question

当n∈N，n≥2时，求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

Answer 1

分析：用数学归纳法进行证明，先验证n=2时，不等式成立；再假设n=k（k≥2）时，不等式成立，然后利用放缩法证明n=k+1时，不等式成立．

解答：证明：①当n=2时，左边=1+

1

2

=1+

2

2

＞1.7＞

2

=右边，
∴当n=2时，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，
即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
则当n=k+1时，
左式=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k•k +1

k+1

=

k+1

k+1

=

k+1

=右式，
∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知，对一切n∈N，且n≥2，不等式都成立．
故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，合理地运用数学归纳法进行证明，证明过程中注意放缩法的灵活运用．