题目内容
【题目】已知数集(
,
)具有性质P;对任意的i,j(
),
与
两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集与
是否具有性质P,并说明理由;
(2)证明:,且
;
(3)当时,若
,求集合A.
【答案】(1) 数集不具有性质P. 数集
,具有性质P.见解析 (2)见解析 (3)
【解析】
(1)根据性质P;对任意的i,j(),
与
两数中至少有一个属于A,验证给的集合集
与
中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;
(2)由性质P,知,故
,
从而,
.再验证又由于
,
,
,…,
,
从而,命题得证;
(3)根据(2),只要证明即可求得集合A.
解:(1)由于,与
或
均不属于数集
,
∴该数集不具有性质P.
由于,
,
,
,
,
,
,
,
,都属于数集
,
∴该数集具有性质P.
(2)证明:∵具有性质P,
∴与
中至少有一个属于A,
由于,∴
故.
从而,
.
∵,
,∴
(
),
故(
).
由A具有性质P可知(
).
又∵,
,
,…,
,
从而,
∴;
(3)由(2)知,当时,
有,
,即
,
∵,∴
,
∴,
由A具有性质P可知.
由,得
,
∴,
∴
即,
,
,
,
是首项为1,公比为
等比数列,
即有集合.
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