Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+3．
（1）若f（x）在（﹣∞， ]是减函数，在[ ，+∞）是增函数，求函数f（x）在区间[﹣1，5]的最大值和最小值．
（2）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，并指出相应的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（﹣∞， ]是减函数，在[ ，+∞）是增函数，

故函数图象开口朝上，且以直线x= 为对称轴，

即﹣a= ，a=﹣ ，

∴f（x）=x2﹣x+3，

在区间[﹣1，5]上，

当x= 时，函数取最小值 ，

当x=5时，函数取最大值23．

（2）解：函数f（x）=x2+2ax+3的图象开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴，

若f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，

则﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，

即a≤﹣5，或a≥5，

当a≥5时，在[﹣5，5]上是增函数，

当a≤﹣5时，在[﹣5，5]上是减函数

【解析】（1）若f（x）在（﹣∞， ]是减函数，在[ ，+∞）是增函数，则函数图象开口朝上，且以直线x= 为对称轴，求出a值，可得函数f（x）在区间[﹣1，5]的最大值和最小值．（2）函数f（x）=x2+2ax+3的图象开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴，若f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，则﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，进而得到答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．