设是定义在R上的偶函数.其图象关于对称.对任意的.都有.且(1)求,(2)证明:是周期函数. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（10分）设是定义在R上的偶函数，其图象关于对称，对任意的，都有，且
（1）求；
（2）证明：是周期函数。

解：（1）因为对任意的，都有
所以
又因为
所以
（2）因为是定义在R上的偶函数，其图象关于对称
所以
即，
所以是周期为2的周期函数。

解析

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若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：
⑴ 任取，有（是常数）；
⑵ 对于内任意，当，总有。
我们将满足上述两条件的函数称为“平顶型”函数，称为“平顶高度”，称为“平顶宽度”。根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。
（2）已知是“平顶型”函数，求出的值。
（3）对于（2）中的函数，若在上有两个不相等的根，求实数的取值范围。

（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数，其中m为常数且。
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性并说明理由。

（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）=1.
(1)求f（x）的解析式;
(2)在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，且，当时，恒有.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且,求a的值；
(3)若，且对所有恒成立，求正实数m的最小值.

（本小题满分12分）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
（2）是否存在a,b,c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R,f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0;
②对任意x∈R,都有0≤f（x）-x≤（x-1）²．若存在，求出a,b,c的值；若不存在，请说
明理由。
（3）若对任意x₁、x₂∈R且x₁<x₂，f（x₁）≠f（x₂）,试证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使f（x₀）=[f（x₁）+f（x₂）]成立。

若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）

已知函数，在区间上有最大值5，最小
值2。
（1）求a，b的值。
（2）若上单调，求的取值范围。