Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 数列{ }的公差为1的等差数列，且a2=3，a3=5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an3n ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：数列{ }的公差为1的等差数列，∴ =a1+n﹣1，可得Sn=n（a1+n﹣1），

∴a1+a2=2（a1+1），a1+a2+a3=3（a1+2），且a2=3，a3=5．

解得a1=1．

∴Sn=n2．

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1（n=1时也成立）．

∴an=2n﹣1

（2）解：bn=an3n=（2n﹣1）3n，

∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，

∴3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，

∴﹣2Tn=3+2×（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1=3+2× ﹣（2n﹣1）3n+1，

可得Tn=3+（n﹣1）3n+1

【解析】（1）数列{ }的公差为1的等差数列，可得 =a1+n﹣1，Sn=n（a1+n﹣1），分别取n=2，3，及其a2=3，a3=5．解得a1=1．可得Sn=n2 ． 利用递推关系即可得出．（2）bn=an3n=（2n﹣1）3n ， 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．