题目内容
20．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2-x2+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（2）分类讨论，去掉绝对值，利用不等式f（x）＞a2-x2+2x在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．
解答 解：（1）x＜-1时，不等式可化为1-x-x-1≥3，∴x≤-$\frac{3}{2}$，∴x≤-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤1时，不等式可化为1-x+x+1≥3，不成立；
x＞1时，不等式可化为x-1+x+1≥3，∴x≥$\frac{3}{2}$，∴x≥$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{3}{2}$}；
（2）x＜-1时，不等式f（x）＞a2-x2+2x可化为a2＜（x-2）2-4，∴a2＜5，∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$；
-1≤x≤1时，不等式f（x）＞a2-x2+2x可化为a2＜（x-1）2+1，∴a2＜1，∴-1＜a＜1；
x＞1时，不等式f（x）＞a2-x2+2x可化为a2＜x2，∴a2＜1，∴-1＜a＜1，
∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$．
点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x-2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{13}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{13}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1 | D． | x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 |
8．
如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）| A． | $\sqrt{13}$ | B． | $\sqrt{7}$ | C． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ |
15．在△ABC中，sin2A≥sin2B+sin2C-sinBsinC，则∠A的取值范围是（ ）
| A． | （0，$\frac{π}{6}$] | B． | （0，$\frac{π}{3}$] | C． | [$\frac{π}{6}$，π） | D． | [$\frac{π}{3}$，π） |
12．A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的最小值为（ ）
| A． | -1 | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | 0 | D． | 2 |
9．已知在△ABC中，a、b、c分别是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且$\frac{sinA-sinC}{sinB}$=$\frac{sinA-sinB}{sinA+sinC}$，则∠C=（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |