题目内容
（本小题满分14分）
已知函数
为常数，数列
满足：
，
，
．
（1）当
时，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对
有：
；
（3）若
，且对，有
，证明：
．
已知函数
为常数，数列满足：，，．（1）当
时，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，证明对
有：；（3）若
，且对，有，证明：．（1）
，
（2）可以用裂项法求和进而证明也可以用数学归纳法证明
（3）可以用基本不等式证明也可以用导数证明，还可以利用数列的单调性证明
，（2）可以用裂项法求和进而证明也可以用数学归纳法证明
（3）可以用基本不等式证明也可以用导数证明，还可以利用数列的单调性证明
试题分析：（1）当
时，
，两边取倒数，得
， ……2分故数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
，，． ……4分（2）证法1：由（1）知
，故对
……6分所以
． ……9分[证法2：①当n=1时，等式左边
，等式右边
，左边=右边，等式成立； ……5分②假设当
时等式成立，即
，则当
时
这就是说当
时，等式成立， ……8分综①②知对于
有：
． ……9分】（3）当
时，
则
， ……10分∵
，∴
……11分
． ……13分∵
与
不能同时成立，∴上式“=”不成立，即对
，． ……14分【证法二：当
时，，则
……10分又
……11分令
则
……12分当
所以函数
在
单调递减，故当
所以命题得证 ……14分】【证法三：当
时，，
……11分
数列
单调递减，
，所以命题得证 ……14分】
点评：本小题比较综合，既考查了数列的通项公式的求解，也考查了数列的前n项的求解，还考查了数列的性质的应用以及基本不等式、导数等的综合应用，难度较大，要求学生具有较高的分析问题、转化问题、解决问题的能力和运算求解能力.
练习册系列答案
相关题目
，
，
，
，
，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
的前
项组成集合
，从集合
中任取
个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如：当
时，
，
，
；当
时，
，
，
．
；
，并用数学归纳法证明．
中，
，且前
项的算术平均数等于第
倍（
）。
时，则当
时左端应在
的基础上加上的项是（ ）
＋
＋…＋
<n(n∈N*，n>1)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1时，左边增加的项数是 ( )
中，数列的前n项和
满足
；（2） 由（1）猜想数列