题目内容

在数列中,,且前项的算术平均数等于第项的倍()。
(1)写出此数列的前5项;      (2)归纳猜想的通项公式,并加以证明。
(1)数列的前5项是:.(2)见解析.
(1)本小题根据题意可得,分别令n=2,3,4,5不难求解。
(2)由(1)中的前5项,不难归纳出,然后再采用数学归纳法进行证明。
要分两个步骤来进行:第一步验证:当n=1时,式子成立;
第二步:先假设n=k时,等式成立,再证明n=k+1时,等式也成立,在证明过程中必须要用上归纳假设。
(1)由已知,分别取



所以数列的前5项是:.-----------4分
(2)由(1)中的分析可以猜想.————————————6分
下面用数学归纳法证明:
①当时,公式显然成立.
②假设当时成立,即,那么由已知,


所以,即
又由归纳假设,得
所以,即当时,公式也成立.—————————10分
由①和②知,对一切,都有成立.------------------12分
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