题目内容
(本题满分20分)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+1=0.
(Ⅰ)证明:直线l1与l2相交;(Ⅱ)试用解析几何的方法证明:直线l1与l2的交点到原点距离为定值.(Ⅲ)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2求d1+d2的最大值
(Ⅰ)证明:直线l1与l2相交;(Ⅱ)试用解析几何的方法证明:直线l1与l2的交点到原点距离为定值.(Ⅲ)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2求d1+d2的最大值
(Ⅰ)反证法:假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+1=0,得+2=1.此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交。(Ⅱ)由(Ⅰ)知由方程组解得交点P的坐标(x,y)为,而x2+y2=2+2===1.即l1与l2的交点到原点距离为1
(Ⅲ)
(Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)反证法:假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+1=0,得+2=1.此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交。
(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知由方程组
解得交点P的坐标(x,y)为
而x2+y2=2+2===1.
即l1与l2的交点到原点距离为1
方法二:交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0,从而
代入k1k2+1=0,得+1=0.整理后,得x2+y2=1得证。
(Ⅲ)方法一:
方法二:为矩形,
当且仅当时取“=”
点评:关于两条直线位置关系的问题,常常单独出现在选择题和填空题中,或作为综合题的一部分出现在解答题中,主要考查以下三种:一、判断两条直线平行和垂直;二、求点到直线的距离、平行线间的距离;三、求直线的交点或夹角及利用它们求参数等
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