Question

已知定点F（2，0），动圆P经过点F且与直线x=-2相切，记动圆的圆心P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据动圆P经过点F且与直线x=-2相切，可得P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，从而扩大圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，即可求得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出直线，代入抛物线方程，求出交点坐标，利用向量条件，可得M的坐标，结合点M为轨迹C上一点，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵动圆P经过点F且与直线x=-2相切，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y²=8x；
（Ⅱ）设M（x，y），则直线l的方程为y=（x-2）
代入y²=8x得：3x²-20x+12=0
∴x₁=，x₂=6
∴y₁=-，y₂=4
∵，
∴x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，
∴x=+6λ，y=-+4λ
∵点M为轨迹C上一点，∴y²=8x，
∴（-+4λ）²=8（+6λ）
∴3λ²-5λ=0
∴λ=或0．
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．