题目内容
(2012•黄浦区二模)已知定点F(2,0),直线l:x=2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且
⊥(
+
).设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,求证:
+
=
;
(3)记
与
的夹角为θ(O为坐标原点,A、B为(2)中的两点),求cosθ的取值范围.
FQ |
PF |
PQ |
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,求证:
1 |
|AF| |
1 |
|BF| |
1 |
2 |
(3)记
OA |
OB |
分析:(1)确定向量的坐标,利用
⊥(
+
),得
•(
+
)=0,由此可求曲线C的方程;
(2)设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合
+
=
+
,即可证得结论;
(3)确定
=(x1,y1),
=(x2,y2),利用cosθ=
,可求cosθ的取值范围.
FQ |
PF |
PQ |
FQ |
PF |
PQ |
(2)设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合
1 |
|AF| |
1 |
|BF| |
1 |
x1+2 |
1 |
x2+2 |
(3)确定
OA |
OB |
| ||||
|
|
解答:(1)解:设点P的坐标为(x,y). (1分)
由题意,可得Q(-2,y),
=(-4,y),
=(2-x,-y),
=(-2-x,0).(3分)
由
⊥(
+
),得
•(
+
)=0,即(-4,y)•(-2x,-y)=0
∴y2=8x(x≥0). (6分)
∴所求曲线C的方程为y2=8x(x≥0).
(2)证明:因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,所以l1的斜率不为零,
故设直线l1的方程为x=my+2. (7分)
于是A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组
的实数解.
消x并整理得y2-8my-16=0. (8分)
于是y1+y2=8m,y1y2=-16,
∴x1+x2=8m2+4,x1x2=4,(10分)
又因为曲线y2=8x(x≥0)的准线为x=-2,
所以
+
=
+
=
=
,得证. (12分)
(3)解:由(2)可知,
=(x1,y1),
=(x2,y2).
∴cosθ=
=
=
=
≥-
(当且仅当m=0时,等号成立). (16分)
∴cosθ的取值范围为[-
,0). (18分)
由题意,可得Q(-2,y),
FQ |
PF |
PQ |
由
FQ |
PF |
PQ |
FQ |
PF |
PQ |
∴y2=8x(x≥0). (6分)
∴所求曲线C的方程为y2=8x(x≥0).
(2)证明:因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,所以l1的斜率不为零,
故设直线l1的方程为x=my+2. (7分)
于是A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组
|
消x并整理得y2-8my-16=0. (8分)
于是y1+y2=8m,y1y2=-16,
∴x1+x2=8m2+4,x1x2=4,(10分)
又因为曲线y2=8x(x≥0)的准线为x=-2,
所以
1 |
|AF| |
1 |
|BF| |
1 |
x1+2 |
1 |
x2+2 |
4+x1+x2 |
x1x2+2(x1+x2)+4 |
1 |
2 |
(3)解:由(2)可知,
OA |
OB |
∴cosθ=
| ||||
|
|
x1x2+y1y2 | ||||||||||||
|
-12 | ||||||||
|
-6 | ||
|
3 |
5 |
∴cosθ的取值范围为[-
3 |
5 |
点评:本题考查向量知识的运用,考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查计算能力,属于中档题.

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