题目内容
（2012•黄浦区二模）已知定点F（2，0），直线l：x=2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
⊥(
+
)．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：
+
=
；
（3）记
与
的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的取值范围．
| FQ |
| PF |
| PQ |
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 1 |
| 2 |
（3）记
| OA |
| OB |
分析：（1）确定向量的坐标，利用
⊥(
+
)，得
•(
+
)=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合
+
=
+
，即可证得结论；
（3）确定
=（x1，y1），
=（x2，y2），利用cosθ=
，可求cosθ的取值范围．
| FQ |
| PF |
| PQ |
| FQ |
| PF |
| PQ |
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 1 |
| x1+2 |
| 1 |
| x2+2 |
（3）确定
| OA |
| OB |
| ||||
|
|
解答：（1）解：设点P的坐标为（x，y）． （1分）
由题意，可得Q（-2，y），
=（-4，y），
=（2-x，-y），
=（-2-x，0）．（3分）
由
⊥(
+
)，得
•(
+
)=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y2=8x（x≥0）． （6分）
∴所求曲线C的方程为y2=8x（x≥0）．
（2）证明：因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l1的斜率不为零，
故设直线l1的方程为x=my+2． （7分）
于是A、B的坐标（x1，y1）、（x2，y2）为方程组
的实数解．
消x并整理得y2-8my-16=0． （8分）
于是y1+y2=8m，y1y2=-16，
∴x1+x2=8m2+4，x1x2=4，（10分）
又因为曲线y2=8x（x≥0）的准线为x=-2，
所以
+
=
+
=
=
，得证． （12分）
（3）解：由（2）可知，
=（x1，y1），
=（x2，y2）．
∴cosθ=
=
=
=
≥-
（当且仅当m=0时，等号成立）． （16分）
∴cosθ的取值范围为[-
，0）． （18分）
由题意，可得Q（-2，y），
| FQ |
| PF |
| PQ |
由
| FQ |
| PF |
| PQ |
| FQ |
| PF |
| PQ |
∴y2=8x（x≥0）． （6分）
∴所求曲线C的方程为y2=8x（x≥0）．
（2）证明：因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l1的斜率不为零，
故设直线l1的方程为x=my+2． （7分）
于是A、B的坐标（x1，y1）、（x2，y2）为方程组
|
消x并整理得y2-8my-16=0． （8分）
于是y1+y2=8m，y1y2=-16，
∴x1+x2=8m2+4，x1x2=4，（10分）
又因为曲线y2=8x（x≥0）的准线为x=-2，
所以
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 1 |
| x1+2 |
| 1 |
| x2+2 |
| 4+x1+x2 |
| x1x2+2(x1+x2)+4 |
| 1 |
| 2 |
（3）解：由（2）可知，
| OA |
| OB |
∴cosθ=
| ||||
|
|
| x1x2+y1y2 | ||||||||||||
|
| -12 | ||||||||
|
| -6 | ||
|
| 3 |
| 5 |
∴cosθ的取值范围为[-
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．
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