题目内容

(2012•黄浦区二模)已知定点F(2,0),直线l:x=2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且
FQ
⊥(
PF
+
PQ
)
.设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,求证:
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
2

(3)记
OA
OB
的夹角为θ(O为坐标原点,A、B为(2)中的两点),求cosθ的取值范围.
分析:(1)确定向量的坐标,利用
FQ
⊥(
PF
+
PQ
)
,得
FQ
•(
PF
+
PQ
)
=0,由此可求曲线C的方程;
(2)设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+2
+
1
x2+2
,即可证得结论;
(3)确定
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2),利用cosθ=
OA
OB
|
OA
||
OB
|
,可求cosθ的取值范围.
解答:(1)解:设点P的坐标为(x,y).                                    (1分)
由题意,可得Q(-2,y),
FQ
=(-4,y),
PF
=(2-x,-y),
PQ
=(-2-x,0).(3分)
FQ
⊥(
PF
+
PQ
)
,得
FQ
•(
PF
+
PQ
)
=0,即(-4,y)•(-2x,-y)=0
∴y2=8x(x≥0).    (6分)
∴所求曲线C的方程为y2=8x(x≥0).    
(2)证明:因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,所以l1的斜率不为零,
故设直线l1的方程为x=my+2.                                (7分)
于是A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组
y2=8x
x=my+2
的实数解.
消x并整理得y2-8my-16=0.                               (8分)
于是y1+y2=8m,y1y2=-16,
∴x1+x2=8m2+4,x1x2=4,(10分)
又因为曲线y2=8x(x≥0)的准线为x=-2,
所以
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+2
+
1
x2+2
=
4+x1+x2
x1x2+2(x1+x2)+4
=
1
2
,得证. (12分)
(3)解:由(2)可知,
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2).
cosθ=
OA
OB
|
OA
|•|
OB
|
=
x1x2+y1y2
x
2
1
+
y
2
1
x
2
2
+
y
2
2
=
-12
x
2
1
+8x1
x
2
2
+8x2
=
-6
100+64m2
≥-
3
5
(当且仅当m=0时,等号成立).     (16分)
∴cosθ的取值范围为[-
3
5
,0).                    (18分)
点评:本题考查向量知识的运用,考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查计算能力,属于中档题.
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