题目内容
（2012•黄浦区二模）已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
⊥(
+
)．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：
+
=
；
（3）记
与
的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．
| FQ |
| PF |
| PQ |
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l1过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 1 |
| 2 |
（3）记
| OA |
| OB |
分析：（1）确定向量的坐标，利用
⊥(
+
)，得
•(
+
)=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合
+
=
+
，即可证得结论；
（3）确定
=（x1，y1），
=（x2，y2），利用cosθ=
，可求cosθ的取值范围．
| FQ |
| PF |
| PQ |
| FQ |
| PF |
| PQ |
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合
| 1 |
| |AF| |
| 1 |
| |BF| |
| 1 |
| x1+2 |
| 1 |
| x2+2 |
（3）确定
| OA |
| OB |
| ||||
|
|
解答：（1）解：设动点P（x，y）．依据题意，可得
Q(-2，y)，
=(-4，y)，
=(2-x，-y)，
=(-2-x，0)． （3分）
又
⊥(
+
)，
于是，
•(
+
)=0，即y2=8x（x≥0）． （6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y2=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l1过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l1的斜率不为零，故设l1：x=my+2． （7分）
联立方程组
得y2-8my-16=0．（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，进一步得
（10分）
又∵曲线C：y2=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=
+
=
+
=
=
=右边． （12分）
∴
+
=
．证毕！
（3）解：由（2）可知，
=(x1，y1)，
=(x2，y2)．
∴cosθ=
=
=
=
≥-
（当且仅当m=0时，等号成立）． （16分）
∴(cosθ)min=-
． （18分）
Q(-2，y)，
| FQ |
| PF |
| PQ |
又
| FQ |
| PF |
| PQ |
于是，
| FQ |
| PF |
| PQ |
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y2=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l1过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l1的斜率不为零，故设l1：x=my+2． （7分）
联立方程组
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
|
|
又∵曲线C：y2=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=
| 1 |
| |FA| |
| 1 |
| |FB| |
| 1 |
| x1+2 |
| 1 |
| x2+2 |
| 4+x1+x2 |
| x1x2+2(x1+x2)+4 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| |FA| |
| 1 |
| |FB| |
| 1 |
| 2 |
（3）解：由（2）可知，
| OA |
| OB |
∴cosθ=
| ||||
|
|
| x1x2+y1y2 | ||||||||||||
|
| -12 | ||||||||
|
| -6 | ||
|
| 3 |
| 5 |
∴(cosθ)min=-
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．
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