Question

17．已知函数f（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域求得结果．

解答 解：函数f（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x+sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，则2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．