题目内容
【题目】已知函数,
.
(I)若,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若存在极小值点
,且
,其中
,求证:
;
(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与
的图像相切?并说明理由.
【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】分析:(1)对进行求导计算即可得到单调区间;
(2)若存在极小值点
,
,则
,由
可得
,化简代入
,即可得到证明;
(2)设切点坐标是,依题意:
,化简得:
设,
,故函数
在
上零点个数,即是曲线切线的条数.
,接下来对a进行分析讨论即可.
解析:(1) ,
所以的单调减区间为
单调增区间为
;
(2) ,
存在极小值点
,则
.
,则
,
所以
代入
所以
,
则,又
,所以
;
(3) 时,有1条切线;
时,有2条切线.
设切点坐标是,依题意:
即,化简得:
设,
故函数在
上零点个数,即是曲线切线的条数.
,
①当时,
,在
上恰有一个零点1;
②当时,
在
上恒成立,
在
上单调递减,且
,
故在
上有且只有一个零点,
当时,
在
上恰有个零点;
③时,
在
上递减,在
上递增,
故在
至多有两个零点,且
又函数在
单调递增,且值域是
,
故对任意实数,必存在
,使
,此时
由于,
函数在
上必有一零点;
先证明当时,
,即证
若,
,而
,由于
若,构建函数
,
在
为增函数,
综上时,
,所以
,故
又,
,所以在
必有一零点.
当
时,
在
上有两个零点
综上:
时,有1条切线;
时,有2条切线.
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