题目内容
【题目】已知函数;
(1)若函数在
上为增函数,求正实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
在
上的最值;
(3)当时,对大于1的任意正整数
,试比较
与
的大小关系.
【答案】(1);(2)函数
在区间
上的最大值是
,最小值是0;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出a的范围即可;
(2)将a=1代入,求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最小值;
(3)求出函数的导数,得到函数的单调性,令,得到f(x)>f(1)=0,从而证出结论.
试题解析:(1)因为,所以
因为函数在
上为增函数,所以
对
恒成立,
所以对
恒成立,即
对
恒成立,所以
.
(2)当时,
,所以当
时,
,故
在
上单调递减;当
,
,故
在
上单调递增,所以
在区间
上有唯一极小值点,故
,又
,
,,
因为,所以
,即
所以在区间
上的最大值是
综上可知,函数在区间
上的最大值是
,最小值是0.
(3)当时,
,
,故
在
上为增函数.
当时,令
,则
,故
所以,即
>
当时,对大于1的任意正整数
,有
>
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前次考试的数学成绩
、物理成绩进行分析.下面是该生
次考试的成绩.
数学 | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的说明;
(Ⅱ)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,求物理成绩
与数学成绩的回归直线方程
(Ⅲ)若该生的物理成绩达到90分,请你估计他的数学成绩大约是多少?
(附: )
【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中
)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |