Question

（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N分别为BB₁、
A₁C₁的中点.
（1）求证：CB₁⊥平面ABC₁；
（2）求证：MN//平面ABC₁.

Answer 1

详见解析

试题分析：（1）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出平面，得出．正方形中，对角线，由线面垂直的判定定理可证出平面；（2）取的中点，连，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出且，从而得到是平行四边形，可得，结合线面平行判定定理即可证出面．
解：（1）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C_­1  　　　　　　 　　      2分
∵CB₁平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁.　　　     4分
∵，，∴是正方形，
∴，∴CB₁⊥平面ABC₁.       6分
（2）取AC₁的中点F，连BF、NF.       7分
在△AA₁C₁中，N、F是中点，∴NFAA₁，又∵BMAA₁，∴EFBM，   8分
故四边形BMNF是平行四边形，∴MN//BF，    10分
而EF面ABC₁，MN平面ABC₁，∴MN//面ABC₁ 12分