题目内容
【题目】选修4－4：坐标系与参数方程(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，将曲线
向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的
，得到曲线
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为
．
（1）求曲线的参数方程；
（2）已知点
在第一象限，四边形
是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
（1）先将曲线
化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线
的普通方程和参数方程；
（2）根据题意，设点
，则
，利用辅助角公式化简周长
的解析式，即可求出最大值及其对应的点
的坐标.
解：（1）由
得
将
代入，整理得曲线的普通方程为
，
设曲线上的点为
，变换后的点为
由题可知坐标变换为
，即
代入曲线的普通方程，整理得
曲线的普通方程为 
，
曲线的参数方程为
(
为参数).
（2）设四边形
的周长为，设点，
，
且
，
，
，
．
且当
时，取最大值，此时
，
所以，
，
，此时.
【题目】某大学高等数学这学期分别用
两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为
人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各
名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
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（参考方式：
，其中
）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.
【题目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间
与每天获得的利润
（单位：万元）的有关数据．
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利润 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程
；
（2）估计星期日获得的利润为多少万元．
参考公式： 
【题目】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 | 不满意 | |
男顾客 | 40 | 10 |
女顾客 | 30 | 20 |
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
