题目内容
【题目】已两动圆
和
，把它们的公共点的轨迹记为曲线
，若曲线与
轴的正半轴交点为
，且曲线上异于点的相异两点
、
满足
.
(1)求曲线的方程；
(2)证明直线
恒经过一定点，并求出此定点的坐标.
【答案】（1）
；（2）直线
恒过定点
。
【解析】
（1）设两动圆的公共点为
，则有
，运用椭圆的定义，即可得到
，
，
，进而得到的轨迹方程；
（2）
，设
，
，
，
，根据直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；
解：（1）设两动圆的公共点为，则有
．
由椭圆的定义可知的轨迹是以
、
为焦点椭圆，且
．
，
所以曲线
的方程是：．
（2）证明：由题意可知：，设，，，，
当的斜率不存在时，易知满足条件
的直线为：
，过定点；
当的斜率存在时，设直线
，联立方程组：
，
把②代入①有：
，
③，
④，
因为，所以有
即
，
，
把③④代入整理：
，
（有公因式
继续化简得
，
或
（舍去
，
综上，直线恒过定点．
【题目】
央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下
春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.
（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶。现在有
材料、
材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了
次试验，成功
次；对附着在材料上再结晶做了次试验，成功
次.用二列联表判断：是否有
的把握认为试验是否成功与材料和材料的选择有关？
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成功 | ||
不成功 |
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及
胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层。前三个环节每个环节生产合格的概率为
，每个环节不合格需要修复的费用均为
元；第四环节生产合格的概率为
元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：
，其中
.
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