Question

14．有下列4个命题：
①两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一平面；
②平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β； 
③两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；
④直线a不平行于平面α，则平面α内不存在与直线a平行的直线．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过举反例，得到①③④都是错误命题，利用平面与平面平行的判定定理，得到②是正确命题．

解答 解：在①中：两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此直线不一定垂直于另一平面，
举反例：以图1中的长方体为例，平面ABB₁A₁⊥平面ABCD，交线为AB，
点B∈平面ABB₁A₁，BC₁⊥AB，但BC₁不垂直于平面ABCD，故①错误；
在②中：平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，根据平面与平面平行的判定定理，得②正确；
在③中：两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，
举反例：图2的圆锥中，SA，SB与底面所在平面所成的角相等，但SA与SB不平行，故③错误；
在④中：直线a不平行于平面α，则平面α内有可能存在与直线a平行的直线，
举反例：当直线a?平面α时，平面α内存在与直线a平行的直线，故④错误．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的合理运用．