Question

在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人（记为甲和乙）进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞0.5），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

．
（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；
（Ⅲ）设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，又知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

，用P表示出第二局比赛结束的概率，使它等于

5

9

解出结果．
（Ⅱ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

5

9

．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
有p2+(1-p)2=

5

9

．…（2分）
解得p=

2

3

或p=

1

3

．…（3分）
∵p＞

1

2

，∴p=

2

3

．…（4分）
（Ⅱ）程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．…（8分）
注意：答案不唯一． 如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换，都可以．
（Ⅲ）依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6．                            …（9分）
由已知 P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=

C

1 2

p3(1-p)+

C

1 2

(1-p)3p=

20

81

P(ξ=6)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=

16

81

．…（11分）
∴随机变量ζ的分布列为：

ζ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

点评：本题考查概率知识，考查流程图，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值与含义，正确求概率．